В одномерном пространстве (на линии) положение точки фиксируется значением одной координаты X, и ошибка положения точки Mp равна средней квадратической ошибке mx этой координаты. Истинное положение точки может находиться в интервале ( X – t * mx ) – ( X + t * mx ), то-есть, в обе стороны от значения X; на практике коэффициент t обычно задают равным 2.0 или 2.50.
В двумерном пространстве (на поверхности) положение точки фиксируется значениями двух координат, и ошибка положения точки должна задаваться двумя величинами: направлением и ошибкой положения по этому направлению. Геометрическая фигура, внутри которой находится истинное положение точки, может иметь разную форму; в частном случае, когда ошибка положения точки по всем направлениям одинакова, получается круг радиуса R = Mp.
Положение точки по двум измерениям получается в пересечении двух линий положения. Для измеренного расстояния S линией положения является окружность радиуса S с центром в исходной пункте A (рис.2.12а); для измеренного угла β с вершиной в исходном пункте A – прямая линия, проведенная под углом β к исходной линии AB (рис.2.12б).
Вследствие ошибок измерений необходимо ввести понятие “полоса положения”. Для расстояния S, измеренного со средней квадратической ошибкой ms – это круговой пояс (кольцо) шириной 2 * ms между двумя окружностями радиусами ( S – ms ) и ( S + ms ); для угла β, измеренного с ошибкой mβ – это узкий треугольник с вершиной в точке A и углом при вершине 2 * mβ. Линия положения точки является осью симметрии полосы положения (рис.2.12).
Рис.2.12. Линия положения и «полоса положения» точки P: а) для измеренного расстояния, б) для измеренного угла.
Введем понятие “вектор ошибки измерения” и обозначим его через V. Для измеренного расстояния вектор Vs направлен вдоль линии AP (прямо или обратно) и имеет модуль vs = ms; для измеренного угла вектор Vβ направлен перпендикулярно линии AP (влево или вправо от нее) и имеет модуль νβ = S * mβ / ρ, где S = A * P.
Точка P, находясь на пересечении двух линий положения, является центром 4-угольника положения, образующегося в пересечении двух полос положения (рис.2.13).
Рис.2.13. 4-угольник положения: а) в линейной засечке, б) в прямой угловой засечке,
Этот элементарный 4-угольник можно считать параллелограммом, так как в пределах него дуги окружностей можно заменить отрезками касательных, а расходящиеся стороны угла – отрезками прямых, параллельных линии положения. Расстояния от точки P до границ 4-угольника неодинаковы, что говорит о различии ошибок положения точки P по разным направлениям.
Линии положения делят 4-угольник положения на 4 равные части (рис.2.14-а), которые назовем параллелограммами ошибок с углами при вершинах γ и ( 180o – γ ), где γ( 180o – γ ) – угол между векторами ошибок V1 и V2. Поскольку высоты параллелограммов ошибок численно равны модулям векторов ν1 и ν2, то стороны параллелограммов получаются по известным формулам (рис.2.14-а):
(2.44)
Рис.2.14
По известным сторонам параллелограмма ошибок и углу между ними γ( 180o – γ ) можно вычислить длину обоих его диагоналей: короткой – d1 и длинной – d2:
Таким образом, ошибка положения точки по шести направлениям (рис.2.14) выражается простыми формулами; для всех остальных направлений формулы будут более сложные.
Для обобщенной характеристики точности определения точки P нужно иметь некоторое усредненное значение ошибки положения точки P, которое можно вычислить:
- как радиус круга R, площадь которого ( π * R2 ) равна площади параллелограмма положения точки P ( 4 * a * b * Sinγ),
(2.45)
- как ошибку положения по “наиболее слабому направлению”, совпадающему с направлением длинной диагонали:
(2.46)
- как среднее квадратическое из длинной и короткой диагоналей параллелограмма ошибок:
(2.47)
На практике чаще других применяется третий вариант, в котором легко получаются формулы для оценки точности любой однократной засечки:
- полярная засечка (рис.2.4):
(2.48)
- прямая угловая засечка (рис.2.6, 2.7):
(2.49)
- линейная засечка (рис.2.9):
(2.50)
- обратная угловая засечка (рис.2.11).
В этой засечке правая часть формулы ошибки положения точки P должна содержать три слагаемых:
- ошибку линейной засечки точки О1 с исходных пунктов A и B ( mO1 ),
- ошибку линейной засечки точки О2 с исходных пунктов B и C ( mO2 ),
- ошибку линейной засечки точки P с точек О1 и О2 ( mP ),
(2.50a)
Угол засечки γ зависит от взаимного расположения линий BC и BA и углов β1 и β2; для рис.2.11 этот угол вычисляется по формуле:
(2.51)
Для многих случаев практики достаточно считать, что истинное положение точки P находится внутри круга радиуса MP с центром в точке P. В строгой теории рассмотренный критерий называется радиальной ошибкой. Кроме того, в этой теории применяются и более сложные критерии, такие как “эллипс ошибок” (кривая 2-го порядка), “подера эллипса ошибок” (кривая 4-го порядка) и др. [22].
При количестве измерений n>2 (многократные засечки) точка P получается в пересечении n линий положения, соответствующих уравненным значениям измерений; полосы положения, пересекаясь, образуют 2 * n-угольник (рис.2.14-б). Наибольшая ошибка положения точки P будет определяться расстоянием от точки P до самой удаленной от нее вершины этого многоугольника. Из рисунка 2.14-б понятна роль третьего измерения в уменьшении ошибки положения точки P; кстати, на этом рисунке второе измерение практически не влияет на значение ошибки положения точки.
