На плоскости можно измерять углы и расстояния.
Угол фиксируется тремя точками: одна точка – это вершина угла, а две другие точки фиксируют направления 1-й и 2-й сторон угла. В простейшем случае хотя бы одна точка из трех не имеет координат, то-есть, является определяемой; в общем случае определяемыми могут быть одна точка, две точки или все три.
Расстояние фиксируется двумя точками, и в общем случае определяемыми могут быть одна точка или обе.
В данном разделе рассматривается простейший случай, когда измерение угла или расстояния выполняют для определения координат одной точки. Поскольку при измерении угла определяемая точка может располагаться либо в вершине угла, либо на одной из его сторон, то с нашей точки зрения на плоскости имеют место три разных измерения, которые назовем элементарными.
Измеряется угол β на пункте A с известными координатами X4,Y4 между направлением с известным дирекционным углом αAB и направлением на определяемую точку P (рис.2.2).
Рис.2.2
Дирекционный угол α направления AP получается по формуле
(2.3)
Для прямой линии AP, называемой линией положения точки P, можно написать уравнение в системе XOY [25]:
(2.4)
В этом уравнении X и Y – координаты любой точки прямой, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.
Измеряется расстояние S от пункта A с известными координатами XA, YA до определяемой точки P. Из курса геометрии известно, что точка P находится на окружности радиуса S, проведенной вокруг точки A, и называемой линией положения точки P (рис.2.3). Уравнение окружности имеет вид :
(2.5)
В этом уравнении X и Y – координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки одного такого уравнения недостаточно.
Рис.2.3
Измеряется угол β на определяемой точке P между направлениями на два пункта с известными координатами; это измерение рассматривается в разделе 2.1.8.
Координаты X и Y точки P можно найти из совместного решения двух уравнений, поэтому, взяв любую комбинацию из трех измерений по два, получим простейшие способы определения координат точки, назывемые геодезическими засечками:
1. два уравнения типа (2.4) – прямая угловая засечка,
2. два уравнения типа (2.5) – линейная засечка,
3. одно уравнение типа (2.4) и одно уравнение типа (2.5) полярная засечка,
4. два измерения углов на определяемой точке – обратная угловая засечка.
Остальные комбинации измерений называются комбинированными засечками.
Каждое из трех элементарных измерений является инвариантом по отношению к системам координат, что позволяет решать засечки на различных чертежах, определяя положение точки P относительно фиксированных точек A и B графическим способом.
Аналитический способ решения засечек – это вычисление координат определяемой точки. Оно может быть выполнено через решение системы двух уравнений, соответствующих выполненным измерениям, или через решение треугольника, вершинами которого являются два исходных пункта и определяемая точка (этот способ для краткости назовем способом треугольника).
В любом геодезическом построении принято выделять три типа данных:
- исходные данные (координаты исходных пунктов, дирекционные углы исходных направлений и т.п.); эти данные часто принимаются условно безошибочными,
- измеряемые элементы; каждый измеренный элемент обычно сопровождается значением средней квадратической ошибки измерения,
- неизвестные (или определяемые) элементы; эти элементы подлежат нахождению по специально разработанному алгоритму, и их значения получаются с некоторой ошибкой, зависящей от ошибок измерений и геометрии данного построения.
