От пункта A с известными координатами XA, YA измерено расстояние S1 до определяемой точки P, а от пункта B с известными координатами XB, YB измерено расстояние S2 до точки P .
Графическое решение. Проведем вокруг пункта A окружность радиусом S1 (в масштабе чертежа), а вокруг пункта B – окружность радиусом S2; точка пересечения окружностей является искомой точкой; задача имеет два решения, так как две окружности пересекаются в двух точках (рис.2.9).
Исходные данные: XA, YA, XB, YB,
Измеряемые элементы: S1, S2,
Неизвестные элементы: X, Y.
Аналитическое решение. Рассмотрим два алгоритма аналитического решения, один – для ручного счета (по способу треугольника) и один – для машинного счета.
Рис.2.9
Алгоритм ручного счета состоит из следующих действий:
1. решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,
2. вычисление в треугольнике ABP углов β1 и β2 по теореме косинусов:
(2.29)
3. вычисление угла засечки γ
(2.30)
4. вычисление дирекционных углов сторон AP и BP:
пункт P справа от линии AB
(2.31)
пункт P слева от линии АВ
(2.32)
5. решение прямых геодезических задач из пункта A на пункт P и из пункта B на пункт P:
1-е решение
(2.33)
2-е решение
(2.34)
Результаты обоих решений должны совпадать.
Алгоритм машинного решения линейной засечки состоит из следующих действий:
1. решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,
2. введение местной системы координат X’O’Y’ с началом в точке A и осью O’X’, направленной вдоль линии AB, и пересчет координат пунктов A и B из системы XOY в систему X’O’Y’:
(2.35)
3. запись уравнений окружностей в системе X’O’Y’:
(2.36)
и совместное решение этих уравнений, которое предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого:
(2.37)
откуда
(2.38)
и
(2.39)
Если искомая точка находится слева от линии AB, то в формуле (2.39) берется знак “-“, если справа, то “+”.
4. пересчет координат X’ и Y’ точки P из системы X’O’Y’ в систему XOY по формулам (2.2):
(2.40)
