Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

Каждый определяемый пункт линейно-углового хода имеет две координаты X и Y, которые являются неизвестными и которые нужно найти. Общее количество пунктов в ходе обозначим через n, тогда количество неизвестных будет 2 * ( n – 2 ), так как у двух пунктов (исходных начального и конечного) координаты известны. Для нахождения 2 * ( n – 2 ) неизвестных достаточно выполнить 2 * ( n – 2 ) измерений.

Подсчитаем, сколько измерений выполняется в разомкнутом линейно-угловом ходе: на n пунктах измерено n углов – по одному на каждом пункте, измерены также ( n – 1 ) сторон хода, всего получается ( 2 * n – 1 ) измерений (рис.2.18).

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

Разность между количеством выполненных измерений и количеством необходимых измерений равна:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.65)

то-есть, три измерения являются избыточными: это угол на предпоследнем пункте хода, угол на последнем пункте хода и последняя сторона хода. Но тем не менее, эти измерения выполнены, и их необходимо использовать при вычислении координат пунктов хода.

В геодезических построениях каждое избыточное измерение порождает какое-либо условие, поэтому количество условий равно количеству избыточных измерений; в разомкнутом линейно-угловом ходе должны выполняться три условия: условие дирекционных углов и два координатных условия.

Условие дирекционных углов. Вычислим последовательно дирекционные углы всех сторон хода, используя формулу передачи дирекционного угла на последующую сторону хода:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.66)

Сложим эти равенства и получим:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

откуда Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода
и Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.67)

Это – математическая запись первого геометрического условия в разомкнутом линейно-угловом ходе. Для правых углов поворота оно запишется так:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.68)

Сумма углов, подсчитанная по формулам (2.67) и (2.68), называется теоретической суммой углов хода. Сумма измеренных углов вследствие ошибок измерений, как правило, отличается от теоретической суммы на некоторую величину, называемую угловой невязкой и обозначаемую fβ:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.69)

Допустимое значение угловой невязки можно рассматривать как предельную ошибку суммы измеренных углов:

Читайте также:
Вычисление координат пунктов замкнутого линейно-углового хода

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.70)

Используем известную формулу из теории ошибок для нахождения средней квадратической ошибки функции в виде суммы аргументов (раздел 1.11.2):

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.71)

При Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода
получим Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода
или Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.72)

После подстановки (2.72) в (2.70) получаем:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.73)

Для теодолитных ходов mβ = 30″, поэтому:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.74)

Одним из этапов уравнивания является введение поправок в измеренные величины с целью приведения их в соответствие с геометрическими условиями. Обозначим поправку в измеренный угол Vβ и запишем условие:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

откуда следует, что:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.75)

то-есть, поправки в углы следует выбрать так, чтобы их сумма была равна угловой невязке с противоположным знаком.

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

В уравнении (2.75) n неизвестных, и для его решения необходимо наложить на поправки Vβ (n-1) дополнительных условий; наиболее простым вариантом таких условий будет:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.76)

то-есть, все поправки в измеренные углы одинаковы. В этом случае решение уравнения (2.75) получается в виде:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.77)

это означает, что угловая невязка fβ распределяется с обратным знаком поровну во все измеренные углы.

Исправленные значения углов вычисляются по формуле:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.78)

По исправленным углам поворота вычисляют дирекционные углы всех сторон хода; совпадение вычисленного и заданного значений конечного исходного дирекционного угла является контролем прави льности обработки угловых измерений.

Координатные условия. Решая последовательно прямую геодезическую задачу, вычислим приращения координат по каждой стороне хода ΔXi и ΔYi. Координаты пунктов хода получим по формулам :

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.79)

Сложим эти равенства и получим для приращений ΔXi:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

После приведения подобных имеем:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

или

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.80)

Аналогичная формула для суммы приращений ΔY имеет вид:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.81)

Получились еще два условия (2.80) и (2.81), которые называются координатными. Суммы приращений координат, подсчитанные по этим формулам, называются теоретическими суммами приращений. Вследствие ошибок измерения сторон и упрощенного способа распределения угловой невязки суммы вычисленных приращений координат в общем случае не будут равны теоретическим суммам; возникают так называемые координатные невязки хода:

Читайте также:
Понятие о системе линейно-угловых ходов

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.82)

по которым вычисляют абсолютную невязку хода:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.83)

и затем относительную невязку хода:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.84)

Уравнивание приращений ΔX и ΔY выполняют следующим образом.

Сначала записывают суммы исправленных приращений:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

и приравнивают их теоретическим суммам:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

откуда следует, что:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.85)

В этих уравнениях по ( n – 1 ) неизвестных и для их решения необходимо наложить на поправки VX и VY дополнительные условия. На практике поправки в приращения координат вычисляют по формулам:

Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода (2.91)

которые соответствуют условию “поправки в приращения координат пропорциональны длинам сторон”.

Рассмотренный способ обработки измерений в линейно-угловом ходе можно назвать способом последовательного распределения невязок; строгое уравнивание линейно-углового хода выполняется по методу наименьших квадратов.

После уравнивания одиночного линейно-углового хода ошибки положения его пунктов неодинаковы; они возрастают от начала и конца хода к его середине, и наибольшую ошибку положения имеет пункт в середине хода. В случае приближенного уравнивания эта ошибка оценивается половиной абсолютной невязки хода fs. При строгом уравнивании хода производится сплошная оценка точности, то-есть вычисляются ошибки положения каждого пункта хода, ошибки дирекционных углов всех сторон хода, а также ошибки уравненных значений углов и сторон хода.

Оцените статью
Основы геодезии
Добавить комментарий