Каждый определяемый пункт линейно-углового хода имеет две координаты X и Y, которые являются неизвестными и которые нужно найти. Общее количество пунктов в ходе обозначим через n, тогда количество неизвестных будет 2 * ( n – 2 ), так как у двух пунктов (исходных начального и конечного) координаты известны. Для нахождения 2 * ( n – 2 ) неизвестных достаточно выполнить 2 * ( n – 2 ) измерений.
Подсчитаем, сколько измерений выполняется в разомкнутом линейно-угловом ходе: на n пунктах измерено n углов – по одному на каждом пункте, измерены также ( n – 1 ) сторон хода, всего получается ( 2 * n – 1 ) измерений (рис.2.18).
Разность между количеством выполненных измерений и количеством необходимых измерений равна:
(2.65)
то-есть, три измерения являются избыточными: это угол на предпоследнем пункте хода, угол на последнем пункте хода и последняя сторона хода. Но тем не менее, эти измерения выполнены, и их необходимо использовать при вычислении координат пунктов хода.
В геодезических построениях каждое избыточное измерение порождает какое-либо условие, поэтому количество условий равно количеству избыточных измерений; в разомкнутом линейно-угловом ходе должны выполняться три условия: условие дирекционных углов и два координатных условия.
Условие дирекционных углов. Вычислим последовательно дирекционные углы всех сторон хода, используя формулу передачи дирекционного угла на последующую сторону хода:
(2.66)
Сложим эти равенства и получим:
откуда 
и 
(2.67)
Это – математическая запись первого геометрического условия в разомкнутом линейно-угловом ходе. Для правых углов поворота оно запишется так:
(2.68)
Сумма углов, подсчитанная по формулам (2.67) и (2.68), называется теоретической суммой углов хода. Сумма измеренных углов вследствие ошибок измерений, как правило, отличается от теоретической суммы на некоторую величину, называемую угловой невязкой и обозначаемую fβ:
(2.69)
Допустимое значение угловой невязки можно рассматривать как предельную ошибку суммы измеренных углов:
(2.70)
Используем известную формулу из теории ошибок для нахождения средней квадратической ошибки функции в виде суммы аргументов (раздел 1.11.2):
(2.71)
При 
получим 
или 
(2.72)
После подстановки (2.72) в (2.70) получаем:
(2.73)
Для теодолитных ходов mβ = 30″, поэтому:
(2.74)
Одним из этапов уравнивания является введение поправок в измеренные величины с целью приведения их в соответствие с геометрическими условиями. Обозначим поправку в измеренный угол Vβ и запишем условие:
откуда следует, что:
(2.75)
то-есть, поправки в углы следует выбрать так, чтобы их сумма была равна угловой невязке с противоположным знаком.
В уравнении (2.75) n неизвестных, и для его решения необходимо наложить на поправки Vβ (n-1) дополнительных условий; наиболее простым вариантом таких условий будет:
(2.76)
то-есть, все поправки в измеренные углы одинаковы. В этом случае решение уравнения (2.75) получается в виде:
(2.77)
это означает, что угловая невязка fβ распределяется с обратным знаком поровну во все измеренные углы.
Исправленные значения углов вычисляются по формуле:
(2.78)
По исправленным углам поворота вычисляют дирекционные углы всех сторон хода; совпадение вычисленного и заданного значений конечного исходного дирекционного угла является контролем прави льности обработки угловых измерений.
Координатные условия. Решая последовательно прямую геодезическую задачу, вычислим приращения координат по каждой стороне хода ΔXi и ΔYi. Координаты пунктов хода получим по формулам :
(2.79)
Сложим эти равенства и получим для приращений ΔXi:
После приведения подобных имеем:
или
(2.80)
Аналогичная формула для суммы приращений ΔY имеет вид:
(2.81)
Получились еще два условия (2.80) и (2.81), которые называются координатными. Суммы приращений координат, подсчитанные по этим формулам, называются теоретическими суммами приращений. Вследствие ошибок измерения сторон и упрощенного способа распределения угловой невязки суммы вычисленных приращений координат в общем случае не будут равны теоретическим суммам; возникают так называемые координатные невязки хода:
(2.82)
по которым вычисляют абсолютную невязку хода:
(2.83)
и затем относительную невязку хода:
(2.84)
Уравнивание приращений ΔX и ΔY выполняют следующим образом.
Сначала записывают суммы исправленных приращений:
и приравнивают их теоретическим суммам:
откуда следует, что:
(2.85)
В этих уравнениях по ( n – 1 ) неизвестных и для их решения необходимо наложить на поправки VX и VY дополнительные условия. На практике поправки в приращения координат вычисляют по формулам:
(2.91)
которые соответствуют условию “поправки в приращения координат пропорциональны длинам сторон”.
Рассмотренный способ обработки измерений в линейно-угловом ходе можно назвать способом последовательного распределения невязок; строгое уравнивание линейно-углового хода выполняется по методу наименьших квадратов.
После уравнивания одиночного линейно-углового хода ошибки положения его пунктов неодинаковы; они возрастают от начала и конца хода к его середине, и наибольшую ошибку положения имеет пункт в середине хода. В случае приближенного уравнивания эта ошибка оценивается половиной абсолютной невязки хода fs. При строгом уравнивании хода производится сплошная оценка точности, то-есть вычисляются ошибки положения каждого пункта хода, ошибки дирекционных углов всех сторон хода, а также ошибки уравненных значений углов и сторон хода.
