Участок местности в общем случае имеет неровную поверхность, и поэтому в геодезии различают площадь физической поверхности участка Pф и площадь проекции участка на горизонтальную плоскость P; ясно, что Pф > P.
Пусть участок прямоугольной формы расположен на плоскости G, имеющей угол наклона ν (рис.6.9).
Площадь прямоугольника ABCD на плоскости G будет равна:
Pф = a * b, (6.28)
где a, b – стороны прямоугольника.
Площадь горизонтальной проекции этого же прямоугольника равна:
P = a * b’ = a * b * Cos (ν)
или
P = Pф * Cos(ν). 1 (6.29)
Рис.6.9
Далее можно написать:
P = Pф – ΔP, (6.30)
где
ΔP = 2 * Pф * Sin2(ν/120). (6.31)
Таким образом, относительное искажение площади участка ΔP/Pф зависит только от угла наклона; при этом форма участка и его расположение в плоскости G не влияют на величину искажения. В следующей таблице приведены численные значения относительного искажения площади участка для разных углов наклона ν.
Таблица 6.2
ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ΔР/P 1/6570 1/11640 1/730 1/410 1/263 1/182 1/132 1/103 1/81 1/66
Если угол наклона плоскости G неизвестен, то абсолютное искажение площади можно получить по известным координатам и отметкам поворотных точек контура участка, выполнив следующие операции:
по координатам поворотных точек вычислить площадь горизонтальной проекции участка:
P = 0.5 * Σ [ Xi * ( Yi+1 — Yi-1 )],
решить обратные задачи по всем сторонам контура участка и получить горизонтальные проложения Si и дирекционные углы αi всех сторон,
вычислить длины сторон контура по формуле:
(6.32)
где hi – превышение по i – той стороне,
одну из поворотных точек контура участка (например, 1-ю) принять за исходную в местной системе координат на плоскости G, то-есть,
X’1 = X1 , Y’1 = Y1 ,
и вычислить координаты всех остальных поворотных точек контура в этой системе по формулам:
X’i+1 = X’i + di * Cos(αi),
Y’i+1 = Y’i + di * Sin(αi),
вычислить площадь участка на плоскости G:
Pф = 0.5 * S[X’i * (Y’i+1 — Y’i-1)],
вычислить абсолютное искажение площади участка:
ΔP = Pф – P.
Если поверхность участка имеет произвольно сложную форму, то участок нужно разделить на t частей желательно треугольной формы, каждая из которых имеет постоянный угол наклона к горизонту, вычислить искажения площади для всех t частей и найти их сумму.
При делении участка нужно соблюдать следующие правила:
вершины гор и донья котловин должны фиксироваться точками с координатами и отметками,
каждая линия водораздела, водослива, бровки, подошвы и перегиба ската должна фиксироваться не менее, чем двумя точками с координатами и отметками.
Координаты и отметки этих точек можно определять по топографической карте или плану.
